=== Esercizi per casa ===

==Lezione del 27 Febbraio==

Scrivere la funzione **spirale.m** che, presi due parametri //rhomax// e //ngiri//, disegni una spirale di raggio massimo rhomax e con un numero di giri ngiri 

== Lezione del 2 Marzo ==

Scrivere una funzione **sierpinski.m** che, preso un intero //npunti//, disegni npunti del [[http://it.wikipedia.org/wiki/Triangolo_di_Sierpinski|triangolo di Sierpinski]]

== Lezione del 6 Marzo ==

Scrivere una funzione **piecelinear.m** con la seguente intestazione

''function [PL, v]=piecelinear(x, y, u) ''

dove x sono i nodi, y i valori nei nodi, u sono i valori sui quali si vuole valutare l'intepolante.
La funzione deve restituire i valori v che la funzione lineare a tratti interpolante assume nei punti u.
I coefficienti che descrivono la funzione lineare a tratti sono contenuti nella matrice 2x(n-1), dove n e' il numero dei nodi.

==Lezione del 9 Marzo ==

Scrivere una funzione **hermite.m** con la seguente intestazione

''function a=hermite(x, y, d)''\\ 

\\ 
dove //x// sono i nodi, //y// i valori che la funzione assume nei nodi e //d// i valori della derivata prima nei nodi. //a// e' il vettore dei coefficienti del polinomio di interpolazione che soddisfa le condizioni sui nodi per la funzione e la sua derivata. (Suggerimento: costruire una matrice tipo quella di Vandermonde, e determinare //a// risolvendo un sistema lineare 2n x 2n).
  
Utilizzare il comando Octave //polyval// per valutare il polinomio ottenuto in altri punti e plottare il grafico del polinomio interpolante. Confrontarlo con il polinomio di interpolazione di Lagrange.
  
== Lezione del 16 Marzo ==

Scrivere la funzione **bspline.m** con la seguente intestazione

'' function [x, y]=bspline(px, py)''\\
\\
che permette di disegnare la bspline cubica open sui punti di controllo rappresentati mediante le loro coordinate
 //px// e //py//.

La funzione chiama la funzione //bs_base(i, p, t, u)// fatta a lezione che calcola i valori che l' i-esimo  polinomio di grado //p//,  N<sub>i,p</sub>(u) assume nel punto //u//. N<sub>i,p</sub> utlizza il vettore dei knot t=[t<sub>0</sub>, t<sub>1</sub>, ..., t<sub>m</sub>]. Si ricorda che\\

S(u)=sum<sub>i=0.. n</sub> N<sub>i,p</sub>(u)P<sub>i</sub>

u \in [t<sub>p+1</sub>, t<sub>m-p</sub>]

I knot possono essere generati all'interno della function con il comando //linspace// ricordando che //m=n+p+1//. 

== Lezione del 20 Marzo ==

Finire di scrivere la funzione //polytrig// con le seguenti caratteristiche\\

'' function v=polytrig(y, u)''\\

che restituisce il polinomio di interpolazione triogonometrico valutato in u, cioe' v=F(u).

Si ricorda che //F// e' definito nel seguente modo

 
[[http://operaez.net/mimetex/F(x)=%5Cleft%5C%7B%5Cbegin%7Barray%7D%7Bll%7D%5Cfrac%7Ba(0)%7D%7B2%7D+%5Csum_%7Bj=1%7D%5E%7Bm-1%7D%20(a(j)%20cos(jx)+b(j)sin(jx))%20&%20n=2m-1%5C%5C%5Cfrac%7Ba(0)%7D%7B2%7D+%5Csum_%7Bj=1%7D%5E%7Bm-1%7D%20(a(j)%20cos(jx)+b(j)sin(jx))+a(m)cos(mx)%20&%20n=2m%20%5Cend%7Barray%7D%20%5Cright.|F(x)]]


== Lezione del 27 Marzo ==

Finire di scrivere la funzione //polymult// per effettuare la moltiplicazione veloce di due polinomi.

'' function c=polymult(a,b)''\\

che presi i coefficienti //a// e //b// dei polinomi a(x) e b(x), produce il vettore //c// che rappresenta il polinomio c(x)=a(x) b(x).\\

Si tenga conto che\\  

  * se //deg(a)=n// e //deg(b)=m//, allora //deg( c)≤n+m//.
  * c(x) e' univocamente determinato una volta conosciuto il suo valore su n+m+1 punti distinti.
  * c(x_i)=a(x_i) b(x_i).

Sia N=2^k, tale che N≥n+m.
    -  Siano α(i)=a(x_i), β(i)=b(x_i) con i=1, 2, ..., N
    -   Siano γ(i)=α(i) β(i), i=1, 2, ..., N
   -   Si calcoli c(x) come il polinomio di interpolazione dei valori γ(i) sui nodi x_i.


Se i nodi x_i sono le radici dell'unita' possiamo utilizzate la fft/ifft per la valutazione dei polinomi a(x) e b(x)  e per l'interpolazione.  La funzione //polymult// deve utilizzare due chiamate all fft di Octave per implementare il punto 1. e una chiamata alla ifft per l'interpolazione al passo 3.

==Lezione del 30 Marzo==

Scivere una funzione //sfumagrigi.m// con la seguente intestazione


'' function I=sfumagrigi(n, ntoni)''\\

che genera un'immagine nxn che utilizza //ntoni// livelli di grigio e tale che ''I''(i,j)=//(i+j)// mod //ntoni//.